El término general de nuestra serie es: $ a_n = \frac{(n!)^2}{(2n)!} $ Primero, encontramos la expresión para \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\): $ a_{n+1} = \frac{((n+1)!)^2}{(2(n+1))!} = \frac{((n+1)!)^2}{(2n+2)!} $ Entonces, el cociente \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) es: $ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{((n+1)!)^2}{(2n+2)!}}{\frac{(n!)^2}{(2n)!}} = \frac{((n+1)!)^2 \cdot (2n)!}{(2n+2)! \cdot (n!)^2} $

Y acá viene la parte clave. Vamos a usar que:

$ (n+1)! = (n+1)n! $

y además:

$ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)! $

Antes que te baje la presión: No, no va a aparecer algo así en el parcial jaja Sustituimos esto en la expresión: $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)n! \cdot (n+1)n! \cdot (2n)!}{(2n+2)(2n+1)(2n)! \cdot n! \cdot n!} $

Simplificamos todo lo que podemos y nos queda:

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} $

Ahora tomamos límite:

$ \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} $ Si abrimos ese cuadrado del numerador y distributiva en el denominador nos queda: $ \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 2n + 1}{4n^2 + 6n + 2} = \frac{1}{4} $

Por lo tanto, como el resultado del límite es $<1$, D'Alembert nos asegura que nuestra serie converge :)