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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 11: Series

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6. Use el criterio de la raíz o del cociente, según convenga, para determinar la convergencia o divergencia de las siguientes series:
c) ∑n=0∞(n!)2(2n)!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n!)^{2}}{(2 n)!}

Respuesta

Vamos a evaluar si esta serie converge o no usando el Criterio de D'Alembert. 

El término general de nuestra serie es: an=(n!)2(2n)! a_n = \frac{(n!)^2}{(2n)!} Primero, encontramos la expresión para an+1an\frac{a_{n+1}}{a_n}: an+1=((n+1)!)2(2(n+1))!=((n+1)!)2(2n+2)! a_{n+1} = \frac{((n+1)!)^2}{(2(n+1))!} = \frac{((n+1)!)^2}{(2n+2)!} Entonces, el cociente an+1an\frac{a_{n+1}}{a_n} es: an+1an=((n+1)!)2(2n+2)!(n!)2(2n)!=((n+1)!)2⋅(2n)!(2n+2)!⋅(n!)2 \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{((n+1)!)^2}{(2n+2)!}}{\frac{(n!)^2}{(2n)!}} = \frac{((n+1)!)^2 \cdot (2n)!}{(2n+2)! \cdot (n!)^2}

Y acá viene la parte clave. Vamos a usar que:

(n+1)!=(n+1)n! (n+1)! = (n+1)n!

y además:

(2n+2)!=(2n+2)(2n+1)(2n)! (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!

Antes que te baje la presión: No, no va a aparecer algo así en el parcial jaja Sustituimos esto en la expresión: an+1an=(n+1)n!⋅ (n+1)n! ⋅(2n)!(2n+2)(2n+1)(2n)!⋅n!⋅n!\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)n! \cdot (n+1)n! \cdot (2n)!}{(2n+2)(2n+1)(2n)! \cdot n! \cdot n!}

Simplificamos todo lo que podemos y nos queda:

an+1an= (n+1)2(2n+2)(2n+1)\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)}

Ahora tomamos límite:

lim⁡n→∞(n+1)2(2n+2)(2n+1) \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} Si abrimos ese cuadrado del numerador y distributiva en el denominador nos queda:  lim⁡n→∞ (n+1)2(2n+2)(2n+1)= lim⁡n→∞ n2+2n+14n2+6n+2=14 \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 2n + 1}{4n^2 + 6n + 2} = \frac{1}{4}

Por lo tanto, como el resultado del límite es <1<1, D'Alembert nos asegura que nuestra serie converge :)
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Leon
22 de junio 15:59
hola disculpas, no entiendo bien lo que está pasando acá, yo pense que (2n+2)! seria solo (2n+2) * n!, pero se ve que hay alguna propiedad del factorial que no estoy entendiendo
2024-06-22%2015:58:12_1077974.png
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Flor
PROFE
23 de junio 12:05
@Leon Hola León! Ufff, si, tranqui, esta parte era complicada y es entendible que te hayas trabado ahí... 

Pensá primero la versión fácil que nosotros estábamos acostumbrados a que aparezca:  (n+1)!(n+1)!. Esto sería multiplicar todos los números desde 1 hasta n+1n + 1 no? Entonces, podíamos pensar esto:


2024-06-23%2012:00:25_4793869.png

Hasta ahí vamos bien? Bueno, ahora pensemos cómo podemos escribir (2n+1)!(2n + 1)!. Acá de nuevo, esto es lo mismo que multiplicar todos los números desde 11 hasta (2n+2)(2n+2). Entonces nos quedaría:


2024-06-23%2012:04:48_4804359.png

Fijate que vos siempre te tenés que asegurar que cada termino sea +1+1 respecto del anterior, por eso te va quedando 2n2n, 2n+12n + 1, 2n+22n + 2.

Se entendió mejor ahora? 

Igual tranqui que como aclaré ahí, jamás vi que aparezca en un parcial de cátedra única algo de este estilo. De hecho, si no me equivoco, aparece únicamente en este ejercicio de la guía 
0 Responder
Leon
25 de junio 11:16
si, ahora lo pensé con ese razonamiento y lo entiendo... aunque creo que ese uno que señalé deberia ser un dos? o lo estoy interpretando mal
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